Introducción

Configuración del programa no lineal de limpieza del agua

Si entran 67.65 toneladas de residuos al tanque sedimentador; cuya cantidad es el resultado de la siguiente suma: 59 sol + 5.4 grasas + 3.25 tóxicos; conforme a los datos de la eficiencia de dicho tanque, quedan de residuos 59(0.05) sol + 5.4(0.15) grasas + 3.25(0.85) tóxicos. Si se repite el proceso, el resultado sería: [59(0.05)](0.05) + [5.4(0.15)](0.15) + [3.25(0.85)](0.85), lo que se puede expresar como: 59(0.05)2 + 5.4(0.15)2 + 3.25(0.85)2. Así que según el número de veces (n) que sea procesada el agua se obtiene: 59(0.05)n + 5.4(0.15)n + 3.25(0.85)n.

Para calcular las veces que conviene repetir el proceso, el producto de cada termino debe ser menor o igual a los limites establecidos por la norma ambiental mexicana que se indicaron previamente, y se formula que:

59 (0.05)X1 £ 0.0001 (sólidos)

5.4 (0.15)X2 £ 0.0001 (grasas)

3.25 (0.85)X3 £ 0.00005 (tóxicos)

Donde x1 representa el número veces que debe ser sometida el agua contaminada al tratamiento del tanque sedimentador, x2 corresponde al tanque de lodo y x3 al filtro de carbón activado. Entonces la función de costo, basada en los datos descritos con anterioridad, se estima igual a:

300 x1 + 550 x2 + 890 x3 por cada tonelada

Cada filtro tiene cierta eficiencia para los diferentes contaminantes que se presentan en el agua, las expresiones que se han mencionado se enfocan a un tanque o filtro en específico, sin embargo, si se va pasando la misma agua por los distintos descontaminantes los resultados serán más eficientes y se espera que satisfagan los límites gubernamentales (que sea menor o igual a la cantidad de emisiones permitidas). Realizando el proceso mencionado las x veces que fuese necesario, en los diferentes contaminantes se obtienen las siguientes expresiones:

Para sólidos suspendidos: 59(0.05)X1 (0.4) X2 (0.97)X3 £ 0.0001

Para grasas y aceites: 5.75(0.15)X1 (0.1)X2 (0.7)X3 £ 0.0001

Para tóxicos: 3.25(0.85)X1 (0.3)X2 (0.1)X3 £ 0.00005

Añadiendo la no negatividad: x1, x2, x3 ³ 0

Entonces el programa queda: Min 20 400x1 + 37 400x2 + 60 520x3

Se analizó el caso de combinar los tres procesos (tanque sedimentador, filtro de carbón activado y tanque de lodos biológicos) para el que se resuelve el programa no lineal construido previamente: Min 20 400x1 + 37 400x2 + 60 520x3

Cuya solución, obtenida es x1 = 5 , x2 = 1, x3 = 4, logrando reducir la contaminación a:

Programa lineal equivalente

Debido a que la solución de un programa no lineal no es tan exacta como la de un programa lineal, se decidió transformar del primer programa al segundo para hallar otra solución y luego compararla con la ya existente, esta acción puede lograrse mediante el uso de la función Algoritmo Natural, por las propiedades emanadas de su definición.

Las restricciones obtenidas del programa no lineal se transformaron de cierta forma, cuya solución, obtenida es: x1 = 4.59124, x2 = 0.660237, x3 = 4.17187. Si la solución del programa lineal se redondea, se obtiene x1 = 5, x2 = 1, x3 = 4, la misma solución que arroja el programa no lineal, por lo que no se logró ningún avance.

Como ya se mencionó, la ecuación de costo que se manejó, tanto en el programa no lineal como en el lineal, no toma en cuenta la variación en el volumen de contaminantes después de cada tratamiento, esta variación impacta directamente al costo correspondiente, por lo que es indispensable considerarla; a continuación, se procede a hacer dicho cálculo usando un modelo dinámico.

Modelo Dinámico

La programación dinámica es una técnica matemática útil en la toma de una serie de decisiones interrelacionadas. Proporciona un procedimiento sistemático para determinar la combinación óptima de decisiones, y se basa en la partición de un problema grande en varios pequeños que requieren una sola decisión cada uno

Las características de los problemas que pueden resolverse con esta técnica son:

• El problema se puede dividir en etapas que requieren una política de decisión en cada una de ellas.

• Cada etapa tiene cierto número de estados asociados con su inicio

• En cada etapa se toma una decisión que optimiza

El procedimiento de solución está diseñado para encontrar una política óptima para el problema completo

Estos elementos en el problema por resolver corresponden a:

• tratamientos a los que es necesario someter el agua, tanque sedimentador (d), tanque de lodos (l), filtro de carbón (c), en 10 ocasiones.

• Los estados son la cantidad de contaminantes en el agua, obtenidos a partir de la tabla de reducción de contaminantes: ci = (si, ai, ti),20 uno en cada etapa una vez tomada la decisión.

• En cada etapa se elige uno de los procesos

• La ecuación de transición: estado en etapa i, con decisión p es ci = (si, ai, ti) = ci = (si-1, ai-1, ti-1) - (rp (s), (rp (a), (rp (t))

• Función recursiva, costo Ji(ci) = Minp {300, 550, 890} (ci) + Ji-1 (ci-1)}

Expresión Tabular

Es importante resaltar que la logística dicta como el orden "natural" del proceso pasar el agua de un tratamiento al siguiente y regresar: sedimentador, tanque de lodo, filtro de carbón y volver al sedimentador hasta alcanzar el nivel deseado de contaminación; resulta más barato tratar el agua con más contaminantes con el proceso más barato y aplicar el proceso más caro cuando los contaminantes se hayan disminuido notoriamente.

Se selecciona el proceso sugerido por el cálculo dinámico anterior, es decir, repetir el tratamiento en el tanque sedimentador hasta la etapa 5, luego pasar al tanque de lodo y después pasar al filtro de carbón, hasta alcanzar el nivel deseado de tóxicos.

Prorrateo de los costos

Para determinar la cantidad que debe aportar cada uno de los empresarios que toman parte en este problema se recurre a la jerarquización analítica.

La jerarquización analítica es un método que permite ordenar las alternativas disponibles para la solución de un problema de acuerdo con los criterios establecidos por el mismo decisor. Una de las innovaciones de este método es utilizar las calificaciones relativas, esto es lo que permite establecer la importancia gradual de cada factor y cada alternativa.

resulta conveniente utilizarlo para distribuir los costos de limpiar el agua contaminada tomando en cuenta no sólo la cantidad de basura que se arroja sino también la importancia de cada contaminante en cuanto al daño que causa en el medio ambiente y en la salud de la población.

Algoritmo de Jerarquización

Paso 1. Recabar información.

Paso 2. Construir una matriz de calificaciones relativas de las alternativas para cada criterio y de los criterios con respecto al objetivo general. Las matrices de calificaciones relativas se construyen colocando las alternativas como entradas en los renglones y en las columnas.

Paso 3. Calcular los vectores propios dominantes para cada matriz.El vector propio dominante normalizado guarda en una sola columna la información concentrada en la matriz. Un vector propio v correspondiente a una matriz G es aquel que satisface la ecuación Ga = λa,esto es, [λI - G]a = 0.

Paso 4. Construir la matriz y el vector de relevancia.

Paso 5. Multiplicar matriz y vector de relevancia.

Aplicación al caso estudiado

Objetivo: acatar la norma ambiental.

Criterios o factores: contaminantes = sólidos suspendidos, grasas y aceites y tóxicos.

Alternativas: actividades = curtiduría, fabricación de calzado y agroindustria.

Importancia relativa de los distintos procesos

Se analizan los diferentes procesos de tratamiento del agua para determinar la importancia de cada uno.

Matriz de relevancia de las alternativas:

• Matriz de calificaciones relativas de los procesos con respecto a la concentración de sólidos suspendidos, construida a partir de la eficiencia de cada instrumento.
  
• Matriz de calificaciones relativas de los procesos con respecto a la concentración de grasas y aceites, construida a partir de la eficiencia de cada instrumento.
  
• Matriz de calificaciones relativas de los procesos respecto de la concentración de materias activas y tóxicas, construida a partir de la eficiencia de cada instrumento.
  
• Matriz de relevancia.
  
• Matriz de calificaciones relativas de los contaminantes construida a partir de la importancia de las consecuencias de la presencia de dichos contaminantes en el agua.
  

Conclusiones

Se considera conveniente impulsar la aplicación de los poderosos instrumentos que proporciona la matemática y apoya la computación en la solución de muchos de los problemas que nos agobian y que se presume nada tienen que ver con la matemática.

Cabe mencionar que el modelo matemático propuesto resulta útil para cualquier problema de contaminación similar, basta usar los datos correspondientes y el modelo proporcionará la mejor solución para el caso en estudio.